قاعدة سيمبسون للتكامل العددي

تلائم قاعدة سيمبسون قطوعاً مكافئة عبر ثلاثيات نقاط متتالية وتجمع مساحاتها. للتكامل ∫₀¹ x² dx بعدد فترات n = 2 (بخطوة h = 0.5 وعقد 0 و0.5 و1): (0.5/3)[0 + 4(0.25) + 1] = (1/6)(2) = 0.33333 — وهو 1/3 بالضبط لأن الدالة نفسها قطع مكافئ وسيمبسون يعيد التربيعيات كاملة. ويتصرف الخطأ كـ h⁴: مضاعفة n تقلصه ستة عشر ضعفا. وللتكامل ∫₀¹ x⁴ dx بالفترتين نفسهما تعطي (1/6)[0 + 4(1/16) + 1] = 0.20833 مقابل الحقيقي 0.2 — خطأ 0.00833 يهبط إلى 0.00052 عند n = 4. ونمط الأوزان 1-4-2-4-…-4-1 هو البصمة: العقد الفردية الداخلية وزنها 4 والزوجية 2.

1. 1

   أدخل f(x) والحدود a وb

   الدالة المكاملة والفترة

2. 2

   اختر n زوجياً

   عدد الفترات الجزئية؛ 2 و4 و8… صالحة

3. 3

   طبّق نمط 1-4-2

   قيم العقد تضرب الأوزان 1, 4, 2, 4, …, 1

4. 4

   اجمع وضبط

   اضرب في h/3 لتقدير التكامل

• 1

  دقيقة حتى للدرجة الثالثة — فضيلة فوق القطوع المكافئة

• 2

  يجب أن يكون n زوجياً؛ والأوزان تجري 1, 4, 2, 4, …, 4, 1

• 3

  الخطأ يتقلص 16 ضعفاً كلما تضاعف n

• استخدام عدد فترات فردي

• إعطاء الوزن 4 للعقد الزوجية الداخلية (وزنها 2)

• الضرب في h بدل h/3

• نسيان أن الطرفين وزنهما 1 لا 2 أو 4