الجذر البابلي – طريقة هيرو التكرارية

تصقل الطريقة البابلية (طريقة هيرو) تخمين الجذر بمتوسطه مع S مقسوماً عليه. إذا علا التخمين x انخفض S/x والعكس، ومتوسطهما أقرب لـ √S منهما. للعدد S = 2 بدءاً من x₀ = 1: x₁ = (1 + 2)/2 = 1.5 ثم x₂ = (1.5 + 2/1.5)/2 = 1.41667 ثم x₃ = 1.4142169 — على بعد 0.0000031 من √2 ≈ 1.4142136. تسرد الحاسبة كل مكرر ومربعه (لإظهار الخطأ المتبقي) وعدد الأرقام الصحيحة الذي يتضاعف تقريباً كل خطوة — تقارب تربوي، وهو المحرك نفسه داخل طريقة نيوتن مطبقة على f(x) = x² − S. وأي بذرة موجبة تعمل؛ التخمينات الرديئة تكلف خطوة إضافية فقط.

1. 1

   أدخل S وتخميناً بادئاً

   أي تخمين موجب؛ 1 أو S/2 شائعان

2. 2

   وسطّط x مع S/x

   يُطبع كل مكرر xₖ₊₁ = (xₖ + S/xₖ)/2

3. 3

   راقب تضاعف الأرقام

   الأرقام الصحيحة تتضاعف كل تكرارة

4. 4

   توقف عند التفاوت

   ينتهي التشغيل حين يقل |xₖ² − S| عن حده

• 1

  متوسط x وS/x يتحرك دائماً نحو √S

• 2

  الأرقام تتضاعف كل تكرارة — ثلاث خطوات تتجاوز ستة أرقام عشرية

• 3

  البذرة تكاد لا تهم؛ التخمين الرديء يكلف خطوة واحدة

• متوسط x مع x/2 بدل S/x

• التوقف بعد مكرر واحد وتوقع الدقة الكاملة

• بذرة سالبة تدفع التكرار إلى المركبات

• الخلط بينها وبين استخراج الجذر يدوياً رقماً برقم