تقريب تايلور – قدّر f(x)

كثيرة تايلور تقارب الدالة قرب مركز باستخدام مشتقاتها مقايضاً بالدقة مقابل مجموع منتهٍ تحسبه باليد. تقريب sin x قرب 0: الكثيرة x − x³/6 عند x = 0.3 تعطي 0.3 − 0.0045 = 0.2955 مقابل sin 0.3 الحقيقية 0.29552 — خطأ دون 2.1×10⁻⁵ محدوداً بأول حد مسقط 0.3⁵/120 ≈ 2.0×10⁻⁵ (السلسلة متناوبة فيصح الحصر). وللدالة eˣ قرب 0 بأربعة حدود تعطي e¹ ≈ 2.6667 مقابل 2.71828. وتختار الحاسبة المركز (الصفر افتراضاً لماكلورين) والرتبة n وتطبع كل حد بمساهمته والمجموع الجزئي والقيمة الحقيقية عند توفرها وتقدير الخطأ من الحد التالي. والرتب الأعلى تشدد سريعاً للدوال التحليلية لكنها تسوء قرب الشواذ — فـ ln(1+x) عند x = 0.9 تحذر من حافة التقارب.

1. 1

   اختر الدالة والمركز والرتبة

   مثل sin والمركز 0 والرتبة 3

2. 2

   اسرد الحدود

   تُطبع كل مساهمة (x−a)ᵏ/k!

3. 3

   اجمع الكثيرة

   القيمة 0.2955 للجيب عند x = 0.3 بالرتبة 3

4. 4

   احصر الخطأ

   تقدير الحد التالي مقابل الحقيقية 0.29552

• 1

  المتناوبة: الخطأ لا يتجاوز أول حد مسقط

• 2

  ماكلورين (المركز صفر) أداة السرعة القياسية

• 3

  الحدود تتقلص عاملياً — الرتبة 5 تكفي غالباً قرب المركز

• تخطي القاسم العاملي في كل حد

• التقييم بعيداً عن المركز حيث التقارب بطيء

• إغفال حصر الخطأ المتناوب عند الإبلاغ عن الدقة

• الخلط بين الرتبة (أعلى قوة) وعدد الحدود (الرتبة + 1)