طريقة التنصيف – حصر الجذور

تستثمر التنصيف مبرهنة القيمة الوسطى: إذا غيّرت دالة مستمرة إشارتها على [a, b] فجذر بداخله، واختبار المنتصف يحدد أي نصف يحتفظ به. للدالة f(x) = x² − 2 على [1, 2] حيث f(1) = −1 وf(2) = 2: المنتصف 1.5 يعطي f = 0.25 > 0 فالجذر في [1, 1.5]؛ ثم المنتصف 1.25 يعطي f = −0.4375 فينتقل الفاصل إلى [1.25, 1.5]؛ ثم 1.375 وهكذا نحو √2 ≈ 1.41421. كل خطوة تنصّف الفاصل — عشر تكرارات تُنزل عدم اليقين تحت 1/1024 ≈ 0.00098، والعدد اللازم بالضبط ⌈log₂((b−a)/التفاوت)⌉. وتجدول الحاسبة كل منتصف وإشارته والفاصل الباقي، وترفض الأفواق التي لا تعبر الصفر.

1. 1

   أدخل f(x) والفاصل [a, b]

   يجب أن يتبادل الطرفان الإشارة: f(a)·f(b) < 0

2. 2

   اختبر المنتصف

   إشارة f((a+b)/2) تختار النصف الباقي

3. 3

   كرّر

   كل تكرارة تنصّف عرض الفاصل

4. 4

   توقف عند التفاوت

   الخطأ ≤ (b−a)/2ⁿ⁺¹ بعد n خطوة

• 1

  رقم ثنائي واحد من الدقة لكل تكرار — عشر خطوات ≈ ثلاث منازل عشرية

• 2

  الفاصل بلا تغيير إشارة يعني لا ضمانات

• 3

  بطيئة لكنها مؤكدة: لا تفشل أبداً على المستمرة

• تمرير فاصل بلا تغيير إشارة وتوقع تقارب

• الإبقاء على النصف الخطأ بمقارنة مهملة للإشارات

• نسيان حد الخطأ (b−a)/2ⁿ⁺¹ عند اختيار التكرارات

• الخلط بين ضمانات التنصيف وسرعة نيوتن