التوافيق مع التكرار – C(n+r−1, r)

حين لا يهم الترتيب وتُرحب المكررات يكون العد بصيغة المجموعات المتعددة C(n+r−1, r). اختيار ثلاث كرات من أربع نكهات يعطي C(6,3) = 20 إمكانية — ثلاث فانيليا أو اثنتان شوكولاتة وواحدة فراولة دون أي التفات للترتيب. والنجوم والشرطات تجسّدها: r نجوماً (اختيارات) وn−1 شرطة (فواصل بين الأنواع) تصنع سلسلة من r+n−1 رمزاً؛ واختيار مواضع النجوم — C(6,3) في مثالنا — يعدّ كل مجموعة مرة واحدة بالضبط، فالتوزيعة ⭐|⭐⭐|| تعني كرة من النوع الأول واثنتين من الثاني. وتطبع الحاسبة تعويض الصيغة وتخطيط النجوم للحالات الصغيرة والمقارنة مع التوافيق العادية (C(4,3) = 4 دون تكرار). ومسائل التوزيع بالعدد نفسه: 7 حلويات متطابقة على 3 أطفال بعدد C(9,2) = 36.

1. 1

   أدخل الأنواع n والاختيارات r

   مثل 4 نكهات و3 كرات

2. 2

   طبق C(n+r−1, r)

   القيمة C(6,3) = 20 مع عرض التعويض

3. 3

   شاهد النجوم والشرطات

   سلاسل النجمة/الشرطة تعدّ كل مجموعة

4. 4

   قارن C(n,r) العادية

   4 بلا تكرار مقابل 20 معه — التكرار يضاعف خمس مرات

• 1

  عدد الشرطات n−1 لا n ولا r

• 2

  العناصر المتطابقة في صناديق مميزة بالصيغة نفسها

• 3

  التكرار يرفع العدد دائماً: من 4 إلى 20 هنا

• استخدام C(n,r) العادية ونسيان الاختيارات القابلة للتكرار

• معاملة الترتيب مهماً — تلك nʳ وهنا 64

• خطأ عدّ الشرطات (n−1 لا n)

• استبعاد الأنواع الصفرية؛ فالأقسام الفارغة مشروعة