الجداء السلمي – والزاوية بين المتجهين

الجداء السلمي يضرب المكونات المتقابلة ويجمعها: للمتجهين u = (2,3) وv = (4,1) يكون u·v = 2×4 + 3×1 = 11. ومعناه الهندسي من العلاقة u·v = |u||v|cos θ: بطولي |u| = √13 ≈ 3.606 و|v| = √17 ≈ 4.123 يكون cos θ = 11/14.866 ≈ 0.740 أي θ ≈ 42.3°. والجداء الصفري يعني cos θ = 0 — المتجهان متعامدان؛ فالمتجهين (2,3)·(−3,2) = −6+6 = 0 يؤكد زاوية قائمة. تسرد الحاسبة كل جداء مكوني والمجموع والطولين والزاوية من بعدين إلى ستة. والتطبيقات تتبع مباشرة: إسقاط u على v يساوي (u·v/|v|²)v، والفيزياء تحسب الشغل كـ F·d — قوة (3,4) تتحرك عبر (2,0) تبذل 6 وحدات.

1. 1

   أدخل المتجهين

   أبعاد متطابقة من 2 إلى 6

2. 2

   اضرب المكونات

   يُسرد كل جداء uᵢvᵢ

3. 3

   اجمع الجداءات

   u·v = 11 للمثال

4. 4

   استخرج الزاوية

   θ = arccos(u·v/(|u||v|)) ≈ 42.3° مع علامة التعامد

• 1

  u·v = 0 ⇔ تعامد (لمتجهين غير صفريين)

• 2

  الترتيب لا يهم: u·v = v·u

• 3

  الجداء السلمي عدد لا متجه

• ضرب مكونات غير متقابلة عبر أبعاد مختلفة

• الخلط بين الجداء السلمي (عددي) والمتجهي

• نسيان الطولين عند حساب الزاوية

• قراءة u·v = 11 كزاوية — يجب cos θ = 11/(√13·√17) أولاً