حاسبة فيبوناتشي – أي حد والمتتالية

كل عدد فيبوناتشي هو مجموع سابقيه: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … تولّد الحاسبة أي مدى عند الطلب — F₇ = 13 وF₁₀ = 55 وF₂₀ = 6765 — وتطبع النسب المتتالية F(n)/F(n−1) وهي تتقارب بصرياً مع النسبة الذهبية φ ≈ 1.618: فالنسبة 6765/4181 ≈ 1.61803. وتُعرض صيغة بينيه المغلقة F(n) = (φⁿ − ψⁿ)/√5 لتشرح انغلاق النسبة على φ، مع متطابقات مثل مجموع الحدود F₁+…+Fₙ = F(n+2) − 1 فمثلاً 1+1+2+3+5+8 = 20 = 21−1.

1. 1

   اختر رقماً أو مدى

   اطلب F(20) أو الحدود من 1 إلى 15

2. 2

   كرّر العلاقة

   كل حد يجمع السابقين مع عرض الجمع

3. 3

   اقرأ النسب

   F(n)/F(n−1) تقترب من φ ≈ 1.618034

4. 4

   تحقق ببينيه

   الصيغة المغلقة تطابق كل حد مولّد

• 1

  نسبة الحدين المتجاورين تميل إلى φ ≈ 1.618 مهما كان البادئان

• 2

  كل حد ثالث زوجي: 2, 8, 34, …

• 3

  متطابقة المجموع: F₁+…+Fₙ = F(n+2) − 1

• بدء المتتالية من 0, 1 والمسألة تفهرس من F₁ = 1

• استخدام العلاقة ونسياد الحالات الأساسية فيتكرر للأبد

• افتراض أن F₀ = 0 يزحزح المؤشرات — F₂₀ = 6765 فقط مع F₁ = F₂ = 1

• الظن بأن النسب تساوي φ بالضبط؛ إنها تتقارب (6765/4181 ≈ 1.61803)