طريقة نيوتن-رافسون – جذور بسرعة

تنزلق طريقة نيوتن على خط المماس: عند كل تخمين xₖ تتبع ميل المماس f′(xₖ) إلى نقطة تقاطعه مع الصفر فتقع أقرب للجذر. لحل f(x) = x² − 2 من x₀ = 1: التحديث يعطي x₁ = 1 − (−1)/2 = 1.5 ثم x₂ = 1.41667 ثم x₃ = 1.41422 — خمسة أرقام لـ √2 في ثلاث خطوات. والتقارب تربوي قرب الجذر البسيط: الأرقام الصحيحة تتضاعف كل تكرارة (الخطأ 0.086 → 0.0025 → 0.0000031). تطبع الحاسبة f وf′ عند كل مكرر وخطوة المماس والباقي، وتحذر من أنماط الفشل — مشتقة صفرية في المنتصف أو تذبذب البذور البعيدة (x₀ = −1 لهذه القطع المكافئ تتأرجح بين ±1؛ واختيار 2 يحل الأمر).

1. 1

   أدخل f(x) وf′(x)

   الدالة ومشتقتها (أو اختر نموذجاً)

2. 2

   اختر التخمين البادئ

   القريب يتقارب أسرع

3. 3

   كرّر خطوة المماس

   يُسرد كل xₖ وf(xₖ) وf′(xₖ) والتحديث

4. 4

   توقف عند التفاوت

   ينتهي التشغيل حين |f(xₖ)| < الحد

• 1

  تقارب تربوي: الأرقام تتضاعف قرب الجذر البسيط

• 2

  كل خطوة تكلف تقييم دالة ومشتقة

• 3

  مشتقة قرب الصفر توقف الطريقة — اختر بداية أخرى

• استخدام f′(x₀) في كل الخطوات بدل إعادة حساب f′(xₖ)

• البداية بعيداً عن الجذر في مناطق مسطحة فتتباعد

• نسيان التعدد: الجذور المزدوجة تتقارب خطياً فقط

• تخطي فحص الباقي |f(x)| قبل قبول الجواب