الكسور المستمرة – من العشري إلى الكسر

الكسر المستمر يقشر الجزء الصحيح ثم يقلب الباقي ويعيد. للعدد 5/8 = 0.625: الجزء الصحيح 0، وقلب 8/5 = 1.6 يعطي a₁ = 1 وباقياً 3/5، وقلب 5/3 يعطي a₂ = 1 وباقياً 2/3، وقلب 3/2 يعطي a₃ = 1 وباقياً 1/2 ثم a₄ = 2؛ فيكون 5/8 = [0; 1, 1, 1, 2]. وبقطع التمدد تنشأ المقاربات — أفضل التقريبات الكسرية عند كل حجم: [0;1] = 1 و[0;1,1] = 1/2 و[0;1,1,1] = 2/3 والقيمة الكاملة 5/8. واللاعقلانية تعطي أنماطاً لانهائية: √2 = [1; 2, 2, 2, …] بمقاربات 1, 3/2, 7/5, 17/12، والنسبة الذهبية [1; 1, 1, …] أبداً.

1. 1

   أدخل عشرياً أو كسراً

   مثل 0.625 أو 5/8

2. 2

   قشر واقلب

   تُستخرج الأجزاء الصحيحة a₀, a₁, … خطوة خطوة

3. 3

   ابنِ المقاربات

   كل قطع [a₀;…aₖ] يصير كسراً

4. 4

   راقب تقلص الخطأ

   أخطاء المقاربات تهبط أسرع من أي مقام منافس

• 1

  المقاربات أفضل التقريبات الكسرية عند حجم مقامها

• 2

  العشريات المنتهية تعطي تمددات منتهية؛ واللاعقلانية لا

• 3

  النسبة الذهبية الأبطأ تقارباً — كل معاملاتها 1

• نسيان الجزء الصحيح البادئ a₀ في تدوين الأقواس

• إيقاف التقشير قبل بلوغ الباقي صفراً للكسور

• قراءة المقاربات كقيم دقيقة؛ فالقيمة 2/3 ≈ 0.6667 لا تساوي 0.625

• الخلط بين البسيط والمعمم (بسط غير الواحد)