تقييم الكسر المستمر من المعاملات

يبدأ تقييم الكسر المستمر من أعمق تعشيش ويطوي صعوداً. للكسر [2; 1, 2]: الذيل 1 + 1/2 = 3/2؛ ثم 1/(3/2) = 2/3؛ ثم 2 + 2/3 = 8/3 ≈ 2.6667. وتجري الحاسبة كل طية بحساب كسري دقيق — فالكسر [1; 1, 1, 1, 1] يقيَّم 8/5 = 1.6 وإطالة سلسلة الواحدات تسير بالمقاربات 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5 نحو النسبة الذهبية φ ≈ 1.618 — نسب فيبوناتشي متنكرة. ويُعرض الخوارزم الرجوعي خطوة خطوة مع العلاقة الأمامية المكافئة (pₖ = aₖpₖ₋₁ + pₖ₋₂ وqₖ كذلك) بوصفها المسار الكفء للتمددات الطويلة. وتقبل المدخلات قوائم معاملات أو أزواج مقاربات، وتُرفض المقامات الصفرية المنحلة.

1. 1

   أدخل المعاملات

   قائمة مثل 2, 1, 2 للكسر [2;1,2]

2. 2

   اطوِ من الأسفل

   ابدأ عند aₙ واصعد: 3/2 → 2/3 → 8/3

3. 3

   احفظ الكسور الدقيقة

   الحساب الكسري يمنع انجراف التقريب

4. 4

   قارن بالعلاقة الأمامية

   p/q من التكرار يطابق الطية

• 1

  اطوِ من الحد الأعمق إلى الخارج — أبداً يساراً إلى يمين

• 2

  سلاسل الواحدات تولد نسب فيبوناتشي المتقاربة نحو φ

• 3

  الكسور الدقيقة تغلب العشريات: فالكسر [2;1,2] = 8/3 بالضبط

• إضافة a₀ أخيراً كجمع ساذج بدل المرور بالمقلوب المتعشق

• القلب عند كل مستوى بما فيه الجزء الصحيح

• تقريب الوسائط وفقد الكسر الدقيق

• نسيان أن النتيجة قد تكون غير فعلية (8/3 > 2)