أعداد كاتالان – C(n) وعدّ البنى

تعدّ أعداد كاتالان الأشكال المتداخلة تكرارياً: الأقواس المتوازنة والأشجار الثنائية والتثليثات ومسارات الشبكة الأحادية. تبدأ المتتالية 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … فيكون C₅ = 14 — عدد تثليثات مضلع محدب بسبعة أضلاع (n+2) وعدد أقواس ستة عوامل (n+1). والصيغة المغلقة تقسم معاملاً ثنائياً مركزياً على n+1: C(5) = C(10,5)/6 = 252/6 = 14. وتطبع الحاسبة تعويض العامليات والمعامل الوسيط والعلاقة التكرارية C(n+1) = Σ C(i)C(n−i) محققةً بالأرقام: 42 = 1·14 + 1·5 + 2·2 + 5·1 + 14·1. ومسارات الشبكة التي لا تعبر القطر هي التصور الكلاسيكي: C(4) = 14 مساراً من (0,0) إلى (4,4) فوق جانب واحد من y = x.

1. 1

   أدخل n

   مؤشر كاتالان مثل 5

2. 2

   احسب الثنائي المركزي

   يُعرض C(2n, n) = C(10,5) = 252 أولاً

3. 3

   اقسم على n+1

   252/6 = 14 = C₅

4. 4

   تصفح التفسيرات

   أشجار وأقواس وتثليثات ومسارات يعدّها C(n) الخاص بك

• 1

  C(n) = C(2n,n)/(n+1) — قسمة واحدة من معامل ثنائي

• 2

  المتتالية: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, …

• 3

  كاتالان تنمو كـ 4ⁿ تقريباً أبطأ من المعامل المركزي نفسه

• نسيان القاسم n+1 والإبلاغ عن C(10,5) = 252 عند n = 5

• انزياح المؤشر: مضلع بـ n+2 ضلعاً يستخدم C(n)

• الخلط بين كاتالان والمعاملات الثنائية المركزية

• افتراض C(0) = 0؛ إنها 1 بالاصطلاح